BROJ PI
Пи или π је математичка константа, данас широко примењивана у математици и физици. Њена приближна вредност је 3,14159, а дефинише се као однос обима и пречника круга или као однос површина круга и квадрата над његовим полупречником. Пи је такође познато и као Архимедова константа (не треба га мешати са Архимедовим бројем) или Лудолфов број. У пракси се бележи малим грчким словом π а у српском језику је правилно писати и пи. Ознака за број пи потиче од грчке речи периметар (περίμετρος). У математику ју је увео Вилијам Џоунс 1707. године, а популаризовао ју је Леонард Ојлер 1737.
Број пи заокружена на 64 децимална места је:
π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Број пи има бесконачно много децимала.
Пи је ирационалан број, што значи да се његова вредност не може изразити преко разломака. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. Пи је такође трансцендентан број, што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја пи и разуме његова природа.
Дефиниција:
:
Пи је однос површина круга и квадрата над његовим полупречником.
У Еуклидској геометрији, број пи се дефинише као однос пречника и обима круга 2rp kroz 2r.
Пи је увек исти, без обзира на величину круга.
Пи се може још дефинисати и као површина круга полупречника 1, обим круга чији је пречник 1 или односом површине круга (A) и квадрата над његовим полупречником: Пи је A kроз rˇ
Ове дефиниције зависе од последица Еуклидске геометрије, као што је чињеница да су сви кругови слични. Ово може бити проблем у областима математике које не укључују геометрију. Због овог разлога математичари често радије дефинишу пи без референци на геометрију, бирајући уместо тога једну од аналитичких особина као дефиницију. Чест избор је да се пи дефинише као најмањи позитиван број чији је синус једнак нули или двострука вредност најмањег позитивног броја чији је косинус једнак нули.
Формуле са пи
Геометрија
Пи се појављује у формулама које се тичу геометријских слика и тела које садрже облик круга или елипсе. У њих спадају ваљак, купа и лопта.
Такође, угао од 180 степени износи π радијана.
Комплексна анализа
Главни чланак: Комплексна анализа
-
Специјалан случај Ојлерове формуле за e^{ix}\,}
e^{i\pi }\,\!+1=0}
-
Основни случај Теореме о остацима:
oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i}
Историја
Симбол „π“ за Архимедову константу је први пут увео 1706. године математичар Вилијам Џоунс када је објавио „Нови увод у математику“ (енгл. A New Introduction to Mathematics), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга.
Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио Леонард Ојлер. У оба случаја, π је прво слово речи περιμετρος (периметрос), што значи „мерити около“ на грчком језику.
Ево кратке хронологије броја π
ВремеОсобаВредност π
(светски рекорди су подебљани)
20. век п. н. е.Вавилонци25/8 = 3,125
20. век п. н. е.Египатски математички папирус (Рајндов папирус)(16/9)² = 3,160493...
средина 6. века п. н. е.1 Цар. 7:233
434. п. н. е.Анаксагора је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром
3. век п. н. е.Архимед223/71 < π < 22/7
(3,140845... < π < 3,142857...)
20. п. н. е.Витрувије25/8 = 3,125
130.Чанг Хонг√10 = 3,162277...
150.Птолемеј377/120 = 3,141666...
250.Ванг Фау142/45 = 3,155555...
480.Зу Чонгжи3,1415926 < π < 3,1415927
499.Арјабхата62832/20000 = 3,1416
598.Брамагупта√10 = 3,162277...
800.Мухамед Ал Хорезми3,1416
Сви подаци од 1424. су дати у бројевима тачних децималних места (дм).
1424.Џамшид Масуд Ал Каши16 дм
1573.Валентус Ото6 дм
1593.Франсоа Вијет9 дм
1593.Адријен ван Ромен15 дм
1596.Лудолф ван Цојлен20 дм
1615.Лудолф ван Цојлен32 дм
1621.Вилеброрд Снел (Снелије), Лудолфов ученик35 дм
1699.Абрахам Шарп71 дм
1706.Џон Мејчин100 дм
1706.Вилијам Џоунс увео грчко слово 'π'
1719.Де Лањи израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна112 дм
1734.Леонард Ојлер усвојио грчко слово 'π' и обезбедио његову популарност
1761.Јохан Хајнрих Ламберт доказао да је π ирационалан број
1775.Ојлер указао на могућност да би π могао бити трансцендентан
1789.Јуриј Вега израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна137 дм
1794.Адријан-Мари Лежандр показао да је и π² (па самим тим и π) ирационалан, и спомиње могућност да је π могуће трансецедентан.
1841.Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна152 дм
1844.Захарија Дазе и Штрасницки200 дм
1847.Томас Клаузен248 дм
1853.Леман261 дм
1853.Радерфорд440 дм
1853.Вилијам Шенкс527 дм
1855.Рихтер500 дм
1874.Вилијам Шенкс је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон 1946. године)527 дм
1882.Линдеман доказао да је π трансцедентан (Линдеман-Вајерштрасова теорема, коју неки зову и „најлепшом теоремом целе математике“)
1946.Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор620 дм
1947.710 дм
1947.808 дм
Сви рекорди од 1949. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.
1949.Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар (Енијак) да израчунају π2.037 дм
1953.Малер показао да pi; није Лиувилов број
1955.Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит3.089 дм
1961.100.000 дм
1966.250.000 дм
1967.500.000 дм
1974.1.000.000 дм
1992.2.180.000.000 дм
1995.Јасумаса Канада> 6.000.000.000 дм
1997.Канада и Такахаши> 51.500.000.000 дм
1999.Канада и Такахаши> 206.000.000.000 дм
2002.Канада и тим> 1.240.000.000.000 дм
2003.Канада и тим> 1.241.100.000.000 дм
CONTACT US
